જો $f(x) = \begin{cases} x[x], & 0 \le x < 2 \\ (x-1)[x], & 2 \le x \le 4 \end{cases}$,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો:

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ અને $g : R \rightarrow R$ એવા વિધેયો છે જે $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$ અને $f(x)=x g(x)$ તમામ $x, y \in R$ માટે સંતોષે છે. જો $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $f$ દરેક $x \in R$ પર વિકલનીય છે
$(B)$ જો $g(0)=1$ હોય,તો $g$ દરેક $x \in R$ પર વિકલનીય છે
$(C)$ વિકલિત $f^{\prime}(1)$ એ $1$ ની બરાબર છે
$(D)$ વિકલિત $f^{\prime}(0)$ એ $1$ ની બરાબર છે

$f(x) = \begin{cases} [\cos \pi x]; & x \leqslant 1 \\ 2\{x\} - 1; & x > 1 \end{cases}$ માટે $x = 1$ આગળ વિકલનીયતા વિશે ટિપ્પણી કરો,જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય અને $\{\cdot\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે.

$f(x) = \begin{cases} 4, & -\infty < x < -\sqrt{5} \\ x^2-1, & -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \\ 4, & \sqrt{5} < x < \infty \end{cases}$
જો $k$ એ એવા બિંદુઓની સંખ્યા હોય જ્યાં $f(x)$ વિકલનીય નથી,તો $k-2=$

નીચેનામાંથી કયું વિધેય તેના પ્રદેશમાં દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ એવું છે જ્યાં તે વિકલનીય નથી?

જો $f(x) = \begin{cases} \frac{x \ln(\cos x)}{\ln(1 + x^2)} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$ હોય,તો: